邏輯、數(shù)學(xué)及本書的范圍
“邏輯”一詞有多種不同的用法。就目前的目的而言，我們可以方便地區(qū)分出三種。在一種意義上，（純粹的或形式的）邏輯關(guān)注有效語(yǔ)句，它們獨(dú)立于任何特定的題材而成立，或者說，在一切可能世界中都為真。這個(gè)概念有一個(gè)含混的地方，會(huì)引出一個(gè)令人困惑的問題，它可以歸結(jié)為是否應(yīng)當(dāng)把純集合視作一種特殊題材這個(gè)問題。看起來很清楚的一點(diǎn)是，排除掉必然涉及無窮大、不可數(shù)性等概念的集合，我們確實(shí)能夠得到一個(gè)足夠重要的邏輯概念。因?yàn)槲覀兺耆淮蛩憧紤]模態(tài)邏輯，我們由此也就得到了第一個(gè)也是最狹窄意義的邏輯概念：（初等的或純粹的）邏輯無非就是帶或不帶等詞的量化理論或（一階）謂詞演算。
邏輯的第二種意義，大致對(duì)應(yīng)著通常所說的數(shù)理邏輯，除了純粹邏輯，它還包括模型論、遞歸論，以及對(duì)整數(shù)、實(shí)數(shù)和集合的公理化處理。在這些情形中，邏輯與元邏輯和元數(shù)學(xué)是緊密地混雜在一起的。
邏輯的第三種也是最寬泛的意義，則遠(yuǎn)沒有那么明確。它是關(guān)于純粹理性的探究或?qū)硇灾锏脑\治。在這種寬泛的意義上，發(fā)現(xiàn)的邏輯、發(fā)展的邏輯、某種形式的歸納邏輯、某種形式的辯證邏輯，都可以被包括在內(nèi)。雖然我們對(duì)這些方面中的一些確有興趣，我們?cè)诒緯袇s不會(huì)談?wù)摯藢挿阂饬x上的邏輯，而是把自己限制在前兩種更明確、更狹窄的意義上。
我們不僅對(duì)數(shù)理邏輯在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題和一般哲學(xué)上的應(yīng)用感興趣，還關(guān)心那些超出數(shù)理邏輯但卻能彌補(bǔ)它在對(duì)人類知識(shí)之一般研究方面的局限性的觀念。這樣，邏輯一般地與直覺或默會(huì)知識(shí)形成對(duì)比，至少在當(dāng)前狀態(tài)下，邏輯還不能處理思維活動(dòng)（與理想化的最終結(jié)果相比），尤其是在效率上達(dá)不到。從邏輯或任何抽象觀點(diǎn)的角度研究知識(shí)現(xiàn)象，一個(gè)更基本但相關(guān)的局限性是，這樣做有忽視各知識(shí)分支的基本關(guān)注點(diǎn)的危險(xiǎn)。正是為了彌補(bǔ)強(qiáng)調(diào)邏輯的這一缺陷，我們?cè)噲D從實(shí)踐和活動(dòng)的多個(gè)視角考察數(shù)學(xué)。
在一種形式的意義上，數(shù)理邏輯包含數(shù)學(xué)，因?yàn)樗砑险?，全部?shù)學(xué)形式上都可以還原為后者。另一方面，我們清楚地知道，數(shù)理邏輯在實(shí)踐上只是數(shù)學(xué)的一個(gè)特殊分支，并且事實(shí)上不常被視作很核心的分支。這一“悖論”使得如下觀點(diǎn)變得十分可信：在數(shù)學(xué)哲學(xué)研究中把注意力集中在數(shù)理邏輯上的做法，是片面的和不恰當(dāng)?shù)摹?p/>
數(shù)理邏輯的一個(gè)主要任務(wù)是精確刻畫基本的數(shù)學(xué)概念，如自然數(shù)、實(shí)數(shù)、集合和（邏輯上正確的）證明。實(shí)現(xiàn)該目標(biāo)的一個(gè)基本工具是公理系統(tǒng)和公理方法。對(duì)公理系統(tǒng)的反思導(dǎo)向元數(shù)學(xué)和模型論，前者主要關(guān)心對(duì)符號(hào)操縱（語(yǔ)形）的一般研究，后者則研究公理系統(tǒng)的解釋（語(yǔ)義）。語(yǔ)形方面的考慮與人們對(duì)構(gòu)造性方法的興趣密切相關(guān)，涉及對(duì)機(jī)械程序或嚴(yán)格形式的這個(gè)概念的一個(gè)驚人地優(yōu)雅的刻畫。這恰好為計(jì)算機(jī)準(zhǔn)備了一個(gè)抽象的理論。而計(jì)算機(jī)反過來又表明，執(zhí)行邏輯學(xué)家所設(shè)想的乏味的形式證明是實(shí)踐上可能的。這激勵(lì)人們以更精確的方式研究邏輯和直覺在數(shù)學(xué)探索活動(dòng)中所扮演的角色。因此，對(duì)知識(shí)和邏輯的研究包含對(duì)心靈和機(jī)器、計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)活動(dòng)的考量，這并非是不自然的。
對(duì)模型和解釋的興趣自然地引向集合這一中心概念。事實(shí)上，集合的核心地位以很多不同的方式顯示出來。我們能有一個(gè)完備的純邏輯形式系統(tǒng)（一階邏輯的完全性問題），其表述本身就依賴于“任意集合”這個(gè)概念。只有使用二階理論，即預(yù)設(shè)一個(gè)固定的關(guān)于任意數(shù)集的概括概念時(shí)，我們才能用公理系統(tǒng)對(duì)自然數(shù)和實(shí)數(shù)做出唯一的（范疇性的）刻畫。這樣我們一次次看到，我們?cè)V諸集合的概念來核證其他領(lǐng)域的絕對(duì)性結(jié)果。另一方面，我們對(duì)集合卻沒有一個(gè)類似的完備刻畫。即使我們使用二階理論并訴諸更高階的類概念，從而豐富集合的每一個(gè)類型或秩（增加稠密度），我們也無法凍結(jié)集合（在長(zhǎng)度上）向著越來越高的秩的開放擴(kuò)張。集合論的另一個(gè)令人著迷的特征是這樣一個(gè)明顯的悖論：對(duì)其基礎(chǔ)的懷疑普遍存在，但我們卻能獲得很強(qiáng)的直覺以非形式的方式達(dá)到正確、有趣、融貫的概念和定理。此外，關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象和一個(gè)給定知識(shí)分支的內(nèi)在資源的哲學(xué)問題，引人注目地聚焦在集合論的考察中。基于這些理由，在思考知識(shí)和邏輯時(shí)，集合的概念值得注意。
我們是以邏輯還是以數(shù)學(xué)為知識(shí)哲學(xué)的中心，這是有差別的。如果以邏輯為中心，純邏輯（第一種也是最狹窄意義上的邏輯）就擁有主要的認(rèn)識(shí)論地位，研究重點(diǎn)在于由話語(yǔ)的一般形式和條件產(chǎn)生的概念和判斷。相比之下，數(shù)學(xué)則強(qiáng)調(diào)數(shù)和空間，或更一般地理想化的結(jié)構(gòu)，它們?yōu)椴煌茖W(xué)提供簡(jiǎn)化而可操縱的模型。數(shù)學(xué)是一門比邏輯學(xué)更具實(shí)質(zhì)性的學(xué)科，因?yàn)槲覀兡芟氲綌?shù)、函數(shù)、空間等數(shù)學(xué)對(duì)象。誠(chéng)然，這些都不像物理對(duì)象，事實(shí)上，有許多理由認(rèn)為數(shù)學(xué)對(duì)象只由數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)決定。但盡管如此，在應(yīng)用數(shù)學(xué)捕捉我們關(guān)于自然過程的知識(shí)中的理論上精確的成分時(shí)，這些神秘朦朧的對(duì)象極其有用。
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有些時(shí)候，計(jì)算機(jī)可以用來輔助純數(shù)學(xué)（例如數(shù)論）的研究，比如驗(yàn)證特例或檢查計(jì)算和證明的正確性。既然所使用的計(jì)算機(jī)是物理世界的一部分，我們似乎是在援引物理現(xiàn)象來核證數(shù)學(xué)結(jié)果。但這里我們感興趣的顯然主要是所用計(jì)算機(jī)的抽象性質(zhì)，我們的結(jié)論本質(zhì)上不依賴于計(jì)算機(jī)是哪個(gè)特殊的物理對(duì)象，也不依賴于其具體的物理性質(zhì)。
一個(gè)更嚴(yán)肅的例子也許是這樣的想法，牛頓物理學(xué)對(duì)牛頓式世界而言是真的。雖然我們現(xiàn)在都相信牛頓物理學(xué)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界不是嚴(yán)格地為真，我們?nèi)匀粫?huì)宣稱，當(dāng)被正確地應(yīng)用時(shí)，它是真的，甚至是先天的。人們也許覺得，這與沒有什么兩樣，后者在被誤用在云朵或懷孕的兔子身上時(shí)并不會(huì)被證偽。然而，仍會(huì)有一種模糊的感覺，覺得更抽象，它有廣泛的例子，而牛頓物理學(xué)則只是處理一個(gè)可以說是獨(dú)一無二的東西，即真實(shí)的物理世界或其部分。我們還感到，牛頓物理學(xué)旨在如其所是的描述這個(gè)世界，而包含更多的概念性元素；就應(yīng)用范圍而言，我們對(duì)它似乎比對(duì)牛頓物理學(xué)擁有更清楚的觀念。牛頓式世界的構(gòu)想是難以實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)槟承┳匀粭l件排除了這個(gè)物理世界是牛頓式世界的可能性。的情況則極為不同。
有一種自然的傾向是，對(duì)數(shù)學(xué)和物理學(xué)是否不同這個(gè)問題感到不耐煩。那些希望強(qiáng)調(diào)差異的人，往往視其為先天與后天或分析與綜合之區(qū)分的核心。但這樣的差異究竟有何作用，并不清楚。如果一個(gè)人相信，哲學(xué)追求先天命題，那么也許可以得出結(jié)論，哲學(xué)更像數(shù)學(xué)而不是物理學(xué)。但通過考問結(jié)論，也許我們會(huì)對(duì)這個(gè)假設(shè)產(chǎn)生懷疑。畢竟，物理學(xué)涉及這個(gè)唯一的物理世界的基本方面，而數(shù)學(xué)看起來業(yè)務(wù)范圍更加發(fā)散，處理各種抽象的可能性。如果像我們相信的那樣，現(xiàn)實(shí)的比可能的更核心和更重要，那么更合理的做法似乎是，期望哲學(xué)關(guān)注現(xiàn)實(shí)物理世界和精神世界的基本特征，或更加緊密地關(guān)注人類擁有的實(shí)際知識(shí)。
在日常生活中，人們認(rèn)為，物理學(xué)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系比與其他自然科學(xué)的聯(lián)系更緊密。因此，考察物理學(xué)與數(shù)學(xué)之間的相互聯(lián)系和相似性是有趣的。康德的先天綜合理論的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，不僅將物理學(xué)（與知性相聯(lián)系）與數(shù)學(xué)（與直觀形式相聯(lián)系）相區(qū)別，同時(shí)還強(qiáng)調(diào)它們之間的相似性，體現(xiàn)在這一論題中：它們都與人類心智的工作方式緊密相關(guān)。
數(shù)理邏輯的發(fā)展與形式化的思想相聯(lián)系。邏輯學(xué)家有時(shí)被指責(zé)持有這樣的信念，認(rèn)為存在的就是形式的。在初等教育領(lǐng)域，近來有一種對(duì)數(shù)學(xué)的形式化方面的不幸的強(qiáng)調(diào)。在高等數(shù)學(xué)中，也有傳統(tǒng)與堆砌定義的現(xiàn)代潮流之間的一個(gè)爭(zhēng)論。人們關(guān)于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的觀念里有四種不同的元素。第一，人們似乎認(rèn)為，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)一般地更接近其在物理科學(xué)中的應(yīng)用。第二，傳統(tǒng)主義者認(rèn)為，舊的數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)的核心，因?yàn)樗鼈兏匀?，涉及的結(jié)構(gòu)更少，而且更容易陳述。第三，有這樣一種看法，認(rèn)為傳統(tǒng)數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果的數(shù)字內(nèi)容更感興趣，因而是偏向構(gòu)造性的，即使這常常是無意識(shí)的。根據(jù)這種觀點(diǎn)，邏輯學(xué)家們將經(jīng)典數(shù)學(xué)與構(gòu)造性數(shù)學(xué)（特別是分析）對(duì)立起來的做法，是基于一個(gè)誤解。不過，構(gòu)造性的概念原是理想化的期待，未被清楚地研究。第四，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)更注重直觀，以歐幾里得幾何學(xué)為例，試圖把它變得更加形式化，至少?gòu)慕虒W(xué)法上說是一個(gè)錯(cuò)誤?；A(chǔ)的（根本的）區(qū)別是，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)沒有那么抽象。
雖然這些要點(diǎn)及其所蘊(yùn)含的對(duì)很多當(dāng)代實(shí)踐的傳統(tǒng)主義批評(píng)不無道理，所涉及的問題卻絕不屬于那種會(huì)有簡(jiǎn)單明快的答案的類型。例如，我們可以說，集合論學(xué)家訴諸他們的直觀來尋找新公理，但使用形式推演以確定新公理能否判定連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)。群和域的概念無疑具有數(shù)學(xué)意義，但人們可以合理地聲稱，它們是用形式化方法被挑選出來的。甚至在研究公理和假設(shè)的獨(dú)立性這一十足形式的問題時(shí)，最好的結(jié)果也是通過廣泛運(yùn)用數(shù)學(xué)直觀得到的。有一個(gè)關(guān)于明晰性的困難問題：形式化方法有時(shí)有助于獲得明晰性，有時(shí)又會(huì)對(duì)它產(chǎn)生阻礙。事實(shí)上，當(dāng)被用在數(shù)學(xué)活動(dòng)而非最終結(jié)果上時(shí)，形式化方法這個(gè)概念本身是高度歧義的。
關(guān)于數(shù)理邏輯的一個(gè)引人注意的現(xiàn)象是，它發(fā)展地越來越數(shù)學(xué)化。隨著它變得數(shù)學(xué)上更有趣，邏輯學(xué)家們發(fā)現(xiàn)自己被吸引到數(shù)學(xué)活動(dòng)的漩渦之中。與此同時(shí)，在對(duì)人類知識(shí)之基礎(chǔ)的哲學(xué)理解上，它的貢獻(xiàn)似乎在減少而非增加。這一現(xiàn)象可以通過澄清一個(gè)錯(cuò)誤信念來部分地解釋：隨著我們更好地理解數(shù)理邏輯的本性，我們發(fā)現(xiàn)，早期對(duì)其哲學(xué)重要性的信念很大程度上是一個(gè)幻覺。但另一個(gè)原因可能是受追求更明確的結(jié)果的社會(huì)心理驅(qū)動(dòng)。這造成一種影響，使邏輯在哲學(xué)上更重要的方面沒有得到發(fā)展，并且被不那么重要但給人印象更深刻的數(shù)學(xué)進(jìn)展埋沒。
邏輯的中心地位與實(shí)際知識(shí)相當(dāng)脫節(jié)。如果我們區(qū)分知識(shí)的三個(gè)主要方面——最終結(jié)果、活動(dòng)和進(jìn)步，邏輯作為用來形式化全部科學(xué)知識(shí)的工具，似乎僅關(guān)心最終結(jié)果。甚至在這一方面，也有一種不切實(shí)際的假定，以為科學(xué)理論已經(jīng)在數(shù)理邏輯或純邏輯的框架內(nèi)得到表達(dá)和形式化。由于它們事實(shí)上不是這么表述的，并且一般來說目前也不適合這么表述，關(guān)于理論的本體論假設(shè)和形式真定義等問題的很多討論呈現(xiàn)出一種假設(shè)和虛幻的氣氛。有人可能希望把這種假設(shè)性研究與數(shù)學(xué)相比，但它如何能自然地融入人類知識(shí)的框架，仍然不清楚。
有些知識(shí)部門，特別是數(shù)學(xué)和關(guān)于計(jì)算機(jī)的研究，在許多方面確實(shí)比較接近邏輯，并因此更有可能從數(shù)理邏輯的嚴(yán)格、普遍的結(jié)果獲益。無論如何，鑒于邏輯在當(dāng)前知識(shí)哲學(xué)中處于中心地位，把邏輯作為一個(gè)起點(diǎn)看起來是合理的，盡管我們對(duì)過分地強(qiáng)調(diào)邏輯深感疑慮。
——節(jié)選自王浩著，高坤、邢滔滔譯，《從數(shù)學(xué)到哲學(xué)》，廣西師范大學(xué)出版社2024年5月出版
