本書旨在為數(shù)獨愛好者和學(xué)習(xí)者提供數(shù)獨游戲的規(guī)則和適用性高的解題技巧與解題思路，以幫助讀者了解數(shù)獨游戲，享受解題樂趣。本書介紹了數(shù)獨游戲的定義和規(guī)則，逐條說明求解數(shù)獨問題的運算規(guī)則及其符號，并輔以應(yīng)用實例。本書還依次歸納了數(shù)條普遍適用的運算規(guī)則和一定數(shù)量的數(shù)獨題目，幫助讀者較快適應(yīng)數(shù)獨規(guī)則、輕松實踐上手。

馬中騏，浙江杭州（臨平）人，1940年3月生于上海市。曾就讀于蘭州大學(xué)，是中國科學(xué)院首屆研究生，獲001號博士學(xué)位證書。曾任中國科學(xué)院高能物理研究所四室研究員、博士生導(dǎo)師、高能物理研究所學(xué)術(shù)委員會委員和高能物理研究所學(xué)位委員會主任、高能物理學(xué)會會員。1991年被評為“做出突出貢獻的中國博士學(xué)位獲得者”。1992年10月起享受國務(wù)院政府特殊津貼。

長期以來一直從事理論物理研究，重點在群論方法及其物理應(yīng)用方面進行科學(xué)研究和教學(xué)工作，已發(fā)表研究論文200余篇。曾在規(guī)范場理論、大統(tǒng)一理論、磁單極理論、量子散射理論和Levinson定理、量子群理論及其在物理中的應(yīng)用、群論方法在量子理論中的應(yīng)用等方向開展科研工作。重要的科研成果有量子N體系統(tǒng)轉(zhuǎn)動自由度的分離、Levinson定理的證明與推廣、量子群的研究等。諾貝爾獎獲得者楊振寧教授曾評價馬中騏的研究成果是能留得下來的工作。

馬中騏博士曾先后三次獲得中國科學(xué)院科技進步二等獎，獲得中國科學(xué)院一九九六年度教學(xué)成果獎二等獎（群論教材），獲得2004~2005年度王淦昌獎。

出版的圖書包括《群論及其在物理中的應(yīng)用》、《楊-巴克斯特方程和量子包絡(luò)代數(shù)》、《物理學(xué)中的群論》、《群論習(xí)題精解》、Yang-Baxter equation and quantum enveloping algebras等。

第 1 章 數(shù)獨及其運算規(guī)則 ··········································1

第 2 章 數(shù)獨運算規(guī)則應(yīng)用舉例 ·····································20

2.1 數(shù)獨題目 1 ··················································20

2.2 數(shù)獨題目 2 ··················································23

2.3 數(shù)獨題目 3 ··················································27

2.4 數(shù)獨題目 4 ··················································30

2.5 數(shù)獨題目 5 ··················································33

2.6 數(shù)獨題目 6 ··················································37

2.7 數(shù)獨題目 7 ··················································41

2.8 數(shù)獨題目 8 ··················································45

2.9 數(shù)獨題目 9 ··················································51

2.10 數(shù)獨題目 10 ················································55

第 3 章 格圈、格鏈及其應(yīng)用 ········································56

3.1 格圈和格鏈 ··················································56

3.2 廣義格鏈 ·····················································73

3.3 排除法 ·······················································89

第 4 章 數(shù)獨世界難題 ················································ 103

4.1 數(shù)獨難題 1 ·················································· 105

4.2 數(shù)獨難題 2 ·················································· 111

4.3 等價的數(shù)獨題目 ············································ 116

附錄一 移棋相間法 ··················································· 118

附錄二 天平秤球 ······················································ 121

附錄三 確定帽子顏色 ················································ 129

【前言】

數(shù)獨是一種邏輯推理類數(shù)字填充游戲. 雖然這種游戲和數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler, 1707—1783 年)研究過的拉丁方(Latin square) 有一定關(guān)系. 但它最早作為一種游戲形式出現(xiàn), 可以追溯到 20 世紀 70 年代. 當(dāng)時在美國紐約的一本益智雜志 Math Puz-zles and Logic Problems 上出現(xiàn)了一種稱為填數(shù)字 (number place) 的游戲. 1984 年一位日本學(xué)者把它傳到日本, 用日文漢字取名為 “數(shù)獨”(Su Doku). 1997 年中國香港高等法院的新西蘭籍法官高樂德 (Wayne Gould) 在《泰晤士報》(The Times) 上發(fā)表了這種游戲, 該游戲很快便風(fēng)靡英國, 并由此傳遍全世界. 20 世紀 90 年代國內(nèi)部分益智類書籍開始刊登數(shù)獨. 南海出版社在 2005 年出版了《數(shù)獨 1》和《數(shù)獨 2》,數(shù)獨由此在國內(nèi)廣泛傳播.

國際上, 由世界智力謎題聯(lián)合會組織的世界數(shù)獨錦標賽 (World Sudoku Championship) 每年舉行一次, 首屆于 2006 年在意大利的盧卡 (Lucca) 舉行, 第八屆于 2013 年在北京舉行. 北京市數(shù)獨運動協(xié)會作為世界智力謎題聯(lián)合會的分支, 也每年組織一次中國數(shù)獨錦標賽.比賽包括標準數(shù)獨和變形數(shù)獨兩類. 標準數(shù)獨和變形數(shù)獨雖然規(guī)則不同, 但解法類似. 本書只研究標準 (經(jīng)典) 數(shù)獨, 以下稱數(shù)獨.

因數(shù)字排列方式千變?nèi)f化, 數(shù)獨吸引了大量愛好者參與. 數(shù)獨有助于老年人加強思維活動, 防止智力退化, 也有助于兒童和年輕人訓(xùn)練邏輯推理和觀察分析的能力. 所有參加游戲的人都可以從游戲中獲得成就感和愉悅感. 本書附錄介紹了三個游戲, 既可以滿足愛好者玩數(shù)字游戲的需要, 也可以訓(xùn)練愛好者的邏輯推理能力.

隨著數(shù)獨的推廣, 人們總結(jié)了大量解題技巧, 總體而言都是根據(jù)已有數(shù)字, 按照數(shù)獨的基本規(guī)定, 通過推理和分析, 在空格中填充相應(yīng)的數(shù)字. 其中, 有的方法簡單直觀, 但適用范圍有限? 有的方法有比較復(fù)雜的推理, 需要一定的記憶能力, 掌握起來有些困難.

本書試圖把已有的各種繁雜的數(shù)獨解題方法系統(tǒng)化, 通過理論物理學(xué)家的思維方式, 歸納成六條清晰易懂的運算規(guī)則, 幫助讀者學(xué)會求解一般數(shù)獨題目的方法. 然后引入格圈和格鏈的概念, 導(dǎo)出本書獨創(chuàng)的數(shù)獨運算技巧, 幫助讀者求解較難的數(shù)獨題目. 本書總結(jié)的這些方法都用適當(dāng)?shù)姆杹順擞? 從而可以把求解數(shù)獨題目的過程像棋譜一樣記錄下來, 大大簡化了解釋的語言. 原則上說, 棋譜完全記錄了下棋的過程, 但大部分讀者在閱讀棋譜時, 還是愿意在棋盤上移動棋子以便于理解下棋的過程. 記住九宮圖的填數(shù)要比記住棋譜困難得多, 因此標記方法的數(shù)獨符號還需要九宮圖的配合, 才能幫助愛好者真正理解數(shù)獨題目的求解過程.

國內(nèi)發(fā)行的有關(guān)數(shù)獨的圖書, 多數(shù)是數(shù)獨題集. 事實上, 在網(wǎng)絡(luò)高度發(fā)展的今天, 各類難易程度不一的題目都可以輕易地從網(wǎng)上找到. 本書推薦三個網(wǎng)站供讀者參考: ①https://sudoku.game/?②https://www.websudoku.com/?level=4? ③https://sudoku.com/evil/.

作為一本介紹數(shù)獨的書, 本書先介紹什么是數(shù)獨, 然后逐條說明求解數(shù)獨題目的運算規(guī)則及其符號, 并輔以例題. 第一章歸納了六條運算規(guī)則. 第二章列舉了 10 道普通的數(shù)獨題目, 并介紹了運用這六條運算規(guī)則進行求解的詳細過程. 作者相信, 大部分讀者很容易掌握這六條運算規(guī)則, 并能將其用于求解常見的數(shù)獨題目. 第三章引入格圈和格鏈的概念, 歸納了四條新的運算規(guī)則. 通過一些例題解釋新運算規(guī)則的符號及其使用方法, 幫助愛好者學(xué)會獨立地求解較難的數(shù)獨題目. 本書的解法強調(diào)從數(shù)獨題目的整體 (全圖) 出發(fā), 通過運算規(guī)則和技巧, 簡化各空格的允許填數(shù), 獲得數(shù)獨終盤 (答案), 這種方法稱為整體解法.

英國《每日郵報》(The Daily Mail) 2012 年 6 月 30 日的一篇報道介紹了芬蘭數(shù)學(xué)家因卡拉 (Arto Inkala) 花費 3 個月設(shè)計出的聲稱是迄今世界上 “難度最大的數(shù)獨題”, 并把此題比作數(shù)獨題的 “珠穆朗瑪峰”. 此題只有一個答案. 因卡拉教授說只有思考能力最快、頭腦最聰明的人才能破解這個游戲 (only the quickest and brightest minds would be able to solve it). 2007 年因卡拉教授還出版了一本專著 (AI Escargot ——The most difficult Sudoku puzzle) , 其中提出了另外一道也聲稱是世界上 “最難的數(shù)獨題”.

針對類似芬蘭數(shù)學(xué)家因卡拉教授設(shè)計的極少數(shù)數(shù)獨難題, 本書第四章采用分題的方法求解, 并以因卡拉教授設(shè)計的兩道 “數(shù)獨世界難題” 為例, 詳細介紹了分題求解的過程, 說明只要學(xué)習(xí)和掌握了本書提出的這套解法, 不需要專門的訓(xùn)練, 任何人都可以獨立求解各類數(shù)獨題目, 甚至包括難度相當(dāng)大的題目. 作者無意引導(dǎo)讀者去鉆研數(shù)獨難題, 只是想說明, 即使是人為設(shè)計的數(shù)獨難題, 只要充滿信心, 方法得當(dāng), 一般人也是可以求解的.

為了幫助讀者理解和領(lǐng)會本書的數(shù)獨運算規(guī)則, 作者制作了一套數(shù)獨解法講課視頻, 全套共九集, 每集時長約半小時, 包括第一章一集、第二章兩集、第三章四集和第四章兩集. 掃描書后二維碼即可觀看視頻.

近日, 作者從網(wǎng)上查知電子科技大學(xué)出版社 2013 年出版的《輕松速解數(shù)獨——陳氏解法》一書, 作者陳金康先生在該書中介紹的解法在解因卡拉教授 2012 年設(shè)計的數(shù)獨世界難題時需要經(jīng)過多次復(fù)雜的猜測且篇幅較大. 本書所提出的數(shù)獨解法則能夠在一定程度上更加簡單明了地表達數(shù)獨世界難題的解題過程.

感謝泰康之家所提供的優(yōu)越的工作環(huán)境, 以及與老年朋友的良好討論機會. 感謝泰康之家居民潘愛蘭老師和新加坡世界科學(xué)出版社 (World Scientific) 編輯潘素起女士提供的因卡拉教授設(shè)計的兩道“數(shù)獨世界難題”, 以及一直給予的支持和鼓勵. 感謝泰康之家居民黃惟崎老師、吳先敏老師、宋建云老師在數(shù)獨問題上的交流和討論. 感謝妹妹馬中芳老師提供的若干道數(shù)獨題目和有益的討論. 感謝妻子李現(xiàn)老師一直以來的全力支持和鼓勵, 無微不至的關(guān)愛和對本書寫作過程的認真討論及研究.

數(shù)獨為一種邏輯游戲，注重邏輯與推理。本書是數(shù)獨研究者、愛好者和初學(xué)者由淺入深學(xué)習(xí)數(shù)獨的數(shù)學(xué)普及讀物。作為介紹數(shù)獨的智力游戲的圖書，相比較于市面上其他以題庫為主的同類書籍，本書表現(xiàn)出較強的學(xué)術(shù)深度和研究價值，值得一讀！

第1章 數(shù)獨及其運算規(guī)則

所謂數(shù)獨, 就是在九宮圖中n個格子內(nèi)預(yù)先填入確定的數(shù), 稱為提示數(shù) (clue). 凡是填有確定數(shù)x的格子稱為定格x, 簡稱定格. 凡是填數(shù)還沒有確定的格子, 統(tǒng)稱為空格.

一道合格 (proper) 的數(shù)獨題目, 在給出n個提示數(shù)后, 通過各種運算規(guī)則的操作, 逐步減少數(shù)獨全圖中各空格的允許填數(shù), 把空格逐步變成定格, 最后一定可以找到唯一一個數(shù)獨終盤. 存在多于一個不相同數(shù)獨終盤的數(shù)獨題目是不合格的數(shù)獨題目. 如果在九宮圖同一單元中重復(fù)出現(xiàn)填數(shù)相同的定格, 或者一個空格的允許填數(shù)減少到零, 則說明這個數(shù)獨題目出現(xiàn)矛盾, 這也是不合格的數(shù)獨題目. 實踐證明, 提示數(shù)n至少要有 17 個. 至今還沒有發(fā)現(xiàn)一道提示數(shù)少于 17個的合格的數(shù)獨題目. 本書不討論如何找出合格的數(shù)獨題目, 而專門討論對于合格的數(shù)獨題目, 如何找到數(shù)獨終盤.

第4章 數(shù)獨世界難題

對于難題非常大的題目, 如本節(jié)介紹的所謂數(shù)獨世界難題, 則需要反復(fù)使用排除法. 此時只有把這些要排除的允許填數(shù)適當(dāng)編號, 才能使計算有條理地進行. 這就是本章要介紹的分題法.

附錄一 移棋相間法

楊振寧先生于 2019 年在《數(shù)學(xué)文化》上發(fā)表的文章《許寶騄和“移棋相間法”》介紹了 1940 年前后西南聯(lián)大物理系和數(shù)學(xué)系的師生們喜歡玩的一個中國古代游戲, 即移棋相間法. 楊先生稱其在《道德文章垂范人間: 紀念許寶騄先生百年誕辰》一書第 316 頁上看到一篇俞潤民的文章, 文章說許曾發(fā)現(xiàn)求解 “移棋相間法” 的 “合四為一之新律”, 楊先生猜想此新律就是自己在美國發(fā)現(xiàn)的 modulo4 方法. 于是重新研究此游戲, 得到全解, 并撰文發(fā)表.

看到楊先生的文章后, 作者曾和楊先生在網(wǎng)上討論該游戲, 并對其稍作推廣. 楊先生鼓勵作者撰文發(fā)表. 作者認為在本書附錄介紹這個游戲較為適宜.